Лаборатория Индустриальной Математики - 3.5. Поиск интервалов устойчивости

3.5. Поиск интервалов устойчивости

Для каждой разностной схемы исследуется область $r \geq 0$ , которая соответствует положительному значению константы $c$ в уравнении переноса (3.1). Выберем для тестирования интервал $0 \leq r \leq 8$ , достаточный для схем с рассматриваемыми шаблонами. Приведенное волновое число $w = k h$ будем рассматривать в интервале $- π \leq w \leq π$ . Построим в области $0 \leq r \leq 8$ , $- π \leq w \leq π$ достаточно подробную прямоугольную равномерную сетку точек

(r_{m}, w_{l}), r_{k} = r_{min} + \frac{r_{max} - r_{min}}{N_{r}} (m - 1), ω_{l} = ω_{min} + \frac{ω_{max} - ω_{min}}{N_{ω}} (l - 1),

где $r_{min} = 0, r_{max} = 8, w_{min} = - π, w_{max} = π$ .

Размер сетки достаточно задать, например, 200 х 200 точек. В каждой точке сетки найдем значение одного или двух корней характеристического полинома. Вычисленные значения являются комплексными числами. Вычислим модуль этого числа. Если для какого-то значения $r_{m}$ для всех значений $- π \leq w \leq π$ и всех корней выполнено соотношение $| q | \leq 1$ , то это значение $r_{m}$ будем относить к интервалу устойчивости. Если соседние значения $r_{m - 1}$ и $r_{m + 1}$ оба не попадают в интервалы устойчивости, то будем считать, что интервал устойчивости состоит из единственной точки. Если же два или больше пробных значений, идущих подряд, $r_{m}$ , $r_{m + 1}$ , … $r_{m + s}$ попадают в интервал устойчивости, то на таком интервале будут построены трехмерные графики поверхностей, описывающие диссипативные и дисперсионные свойства схемы. Если интервал устойчивости доходит до максимального значения $r_{max} = 8$ , то считается, что такой интервал в действительности продолжается до бесконечности.

Для конечных интервалов $r_{min} \leq r \leq r_{max}$ строится один график для каждого корня. Для интервалов вида $r_{min} \leq r < \infty$ , где $r_{min} > 0$ также будет построен один график, но для каждого корня будет проведено преобразование $r \to \frac{1}{r}$ . Интервал устойчивости $r_{min} \leq r < \infty$ преобразуется к интервалу $0 < r < \frac{1}{r_{min}}$ . Бесконечный интервал $0 \leq r < \infty$ , разбивается на два: $0 \leq r \leq 1$ и $1 \leq r < \infty$ . Для каждого из них строится свой график поверхностей, причем для второго графика делается преобразование $r \to \frac{1}{r}$ .

← Назад Далее →