Впечатляющий рост производительности суперкомпьютеров позволяет проводить расчеты на сотнях миллионов и миллиардах расчетных узлов, что способствует бурному развитию вычислительной гидродинамики. Прогресс в вычислительной гидродинамике открывает возможность численного решения задач индустриальной математики, исходя из первых принципов, без использования эмпирических закономерностей и настроечных параметров.
Под вычислительной гидродинамикой обычно понимают технологию численного решения уравнений Эйлера и Навье-Стокса с учетом сопутствующих физико-химических процессов. В последнее время, однако, этот термин начал приобретать более широкий и глубокий смысл. Наметилась тенденция рассматривать в качестве предмета вычислительной гидродинамики не область приложений, а математическую природу решаемых уравнений, которую определяет, с одной стороны, дивергентный характер законов сохранения, а с другой стороны, свойство гиперболичности, или «почти гиперболичности» этих уравнений.
«Почти гиперболичными» системами уравнений называют линейные или квазилинейные системы законов сохранения с «возмущенной» правой частью, представляющей собой эллиптический или интегральный оператор, умноженный на малый параметр \varepsilon. Почти гиперболические системы называют еще системами с доминирующей гиперболичностью (доминирующим переносом).
При таком расширенном толковании к области вычислительной гидродинамики можно отнести многие научные дисциплины, традиционно не относящиеся к гидро- и газодинамике, а именно: динамические задачи теории упругости, электродинамику (уравнения Максвелла), задачи переноса частиц и излучения, уравнения Власова, уравнения Лаверетта - Бакли и т.п.
Гиперболическая природа задач вычислительной гидродинамики определяет их основную особенность, связанную с возможным наличием слабых и сильных разрывов и, в нелинейных случаях, механизмов их образования в процессе эволюции. Для квазилинейных законов сохранения с доминирующей гиперболичностью также характерна многомасштабность - нелинейное взаимодействие когерентных структур разных размеров - от крупных образований, определяемых размерами области, до самых мелких, лимитируемых параметром возмущения гиперболичности \varepsilon
Основной проблемой вычислительной гидродинамики в настоящее время является обеспечение сходимости численного решения к результатам экспериментальных наблюдений при измельчении расчетных сеток. Здесь сложным образом переплетаются две составляющие - проблема адекватности математической модели и непосредственно проблема сеточной сходимости. Можно сказать, что главным вопросом вычислительной гидродинамики на сегодняшний день является вопрос о повышении предсказательной способности расчетов при измельчении расчетных сеток. Для линейных уравнений этот вопрос решается теоретически, для нелинейных - на уровне рецептов.
Применительно к задачам классической гидродинамики главным является вопрос о предсказательной способности методов численного моделирования турбулентных течений при неполном разрешении спектра турбулентных пульсаций.
Количество рецептов в вычислительно гидродинамике постоянно растет. Однако, в их пестром разнообразии намечается тенденция к унификации. Появляются трактовки и подходы, претендующие на универсальность. Прежде всего, следует отметить принцип консервативности, согласно которому вычислительные алгоритмы должны на дискретном уровне выражать законы сохранения, заложенные в дифференциальные модели. Важную роль играют принцип сохранения монотонности численного решения и процедуры нелинейной коррекции потоков, его обеспечивающие.
Другая особенность, определяющая область вычислительной гидродинамики - гиперболический характер уравнений, также становится обязательным элементом успешных вычислительных методик. В настоящее время она выражается, прежде всего, в широком применении задачи о распаде произвольного разрыва для вычисления потоков гидродинамических величин. Более явно гиперболичность проявляется в возможности записи исходных уравнений в характеристическом виде, что находит свое отражение в т.н. сеточно-характеристических и балансно-характерис-тических разностных схемах.
Дальнейшее совершенствование численных методов решения задач вычислительной гидродинамики, направленное на повышение эффективности их практического использования, продолжает оставаться актуальной задачей. Для расчета турбулентных течений при больших числах Рейнольдса начинают использовать вычислительные алгоритмы высокого порядка аппроксимации, выражающегося двузначными цифрами. Наблюдается позитивный эффект, и это при том, что необходимого порядка гладкости решения в турбулентных течениях не может быть в принципе.
Одно из возможных объяснений такого явления состоит в том, что аппроксимации высокого порядка улучшают диссипативные и дисперсионные характеристики расчетных схем, уменьшая их амплитудные и фазовые ошибки. Однако не совсем понятно, как это связано с порядком аппроксимации. В классе схем с заданным порядком их диссипативные и дисперсионные характеристики могут сильно различаться и, возможно, следует не наращивать порядок аппроксимации, что сопряжено с увеличением вычислительного шаблона и соответствующими алгоритмическими проблемами, а искать более подходящие решения на максимально компактных шаблонах.
Состояние дел в вычислительной гидродинамике на сегодня таково, что исследования диссипативных и дисперсионных свойств вычислительных алгоритмов носят фрагментарный характер и не позволяют сформировать единую картину. Это объясняется, в первую очередь, сложностью формулировки самой проблемы.
Диссипативные и дисперсионные свойства дискретных операторов исследуются на линейном уравнении переноса с постоянной скоростью и сложным образом зависят от пространственной размерности задачи, конфигурации расчетной сетки и формы вычислительного шаблона. Для получения содержательных ответов постановка обычно упрощается до одномерной, а расчетная сетка предполагается регулярной, с равномерными шагами по пространству и времени. Таким образом, задача сводится к исследованию зависимости только от вычислительного шаблона.
В МГУ имени М.В. Ломоносова в 2014 году был запущен исследовательский проект по разработке «атласа» диссипативных и дисперсионных поверхностей всего множества разностных схем второго порядка аппроксимации на компактных вычислительных шаблонах для линейного одномерного уравнения переноса. Работа проводилась силами студентов 3-4 курсов в рамках учебного семинара «индустриальная математика».
В рамках этого проекта сначала нужно было определить предмет исследования - множество дискретных операторов - и, затем, разработать технику их анализа.
Дискретный оператор на заданном шаблоне может быть построен либо методом неопределенных коэффициентов, либо методом обратной характеристики (интерполяционно-характе-ристический подход). Второй подход оказывается более наглядным, поэтому именно он и использовался. Минимальный шаблон, на котором может быть построен оператор второго порядка аппроксимации, должен содержать четыре расчетных узла. Было рассмотрено все множество таких комбинаций на «меташаблоне» из девяти расчетных узлов - три слоя по времени по три узла на каждом слое. Набралось 126 комбинаций. Часть из них образовывали группы, преходящие друг в друга при временных и пространственных сдвигах. Если считать, что такие группы представляют один дискретный оператор, то число различных дискретных операторов сокращается до 97. Следует отметить, что в это число входят как явные, так и неявные схемы.
Процесс исследования дискретных операторов включал определение областей их устойчивости, зависящих от безразмерного числа Куранта - Фридрихса - Леви r и приведенного волнового числа k*h, и построение в этих областях диссипативных и дисперсионных поверхностей. Отклонение диссипативной поверхности от единичной плоскости в каждой точке области устойчивости характеризует степень затухания гармоники с приведенным волновым числом k*h при заданном числе r. Отклонение дисперсионной поверхности от единицы - дает портрет фазовых ошибок схемы.
Предлагаемая Вашему вниманию работа является, с одной стороны учебным пособием для студентов 3-4 курса университета и бакалавров, а с другой - справочником, содержащим нигде не опубликованную ранее информацию о свойствах всех возможных дискретных операторов второго порядка аппроксимации на компактных вычислительных шаблонах, собранную в «атлас диссипативных и дисперсионных поверхностей».
Авторы выражают благодарность студентам факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, принимавшим участие в работе над «атласом», в особенности Афанасьеву Никите, Горбачеву Даниилу, Колокольникову Алексею, Майоров Павлу и Майорову Петру, внесшим существенный вклад в формирование облика учебного пособия.
Далее →