← Назад Далее →

1.4. Матричная форма уравнений, условие гиперболичности

Из дивергентной формы уравнений механики сплошных сред (1.15) можно получить матричную, или т.н. «простую форму» этих уравнений:

$$\frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial t}+A\cdot \frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial x}=0;A=\left\{a_{i,j}\right\};a_{i,l}=\frac{\partial F_i}{\partial {\varphi }_j};(1.19)$$

в некотором смысле более близкую к уравнению (1.1). В частном случае, когда матрица A является диагональной, т.е. $\left\{a_{i,j}\right\}=\left\{{\lambda }_i{\delta }_{i,j}\right\}$, где все ${\lambda }_i$ действительные числа, матричная система уравнений (1.19) распадается на независимые уравнения переноса с характерными скоростями ${\lambda }_i={\lambda }_i\left(\overrightarrow{\varphi }\right)$

$$\frac{\partial {\varphi }_i}{\partial t}+{\lambda }_i\cdot \frac{\partial {\varphi }_i}{\partial x}=0;i=1,...,m$$

Система уравнений (1.15) называется гиперболической, если все собственные значения матрицы $A$ в (1.19) являются действительными числами.

Покажем, что система уравнений мелкой воды является гиперболической.

Закон сохранения массы можно представить в виде:

$$\frac{\partial H}{\partial t}+\cdot \frac{\partial F_H}{\partial x}=0;\Rightarrow \frac{\partial H}{\partial t}+\cdot \frac{\partial Hu}{\partial x}=0;\Rightarrow \frac{\partial H}{\partial t}+u\cdot \frac{\partial H}{\partial x}+H\frac{\partial u}{\partial x}=0;$$

Закон сохранения импульса представим как:

$$\begin{array}{l}\frac{\partial Hu}{\partial t}+\cdot \frac{\partial F_{Hu}}{\partial x}=0;\Rightarrow \frac{\partial Hu}{\partial t}+\frac{\partial H{u}^2}{\partial x}+\frac{g}{2}\cdot \frac{\partial H^2}{\partial x}=0;\Rightarrow \\ \Rightarrow u\cdot (\frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial Hu}{\partial x})+H(\frac{\partial u}{\partial t}+u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+g\frac{\partial H}{\partial x})=0;\end{array}$$

Первое выражение в круглых скобках равно нулю в силу закона сохранения массы. Таким образом, уравнения мелкой воды можно записать в «простой форме»:

$$\frac{\partial H}{\partial t}+u\cdot \frac{\partial H}{\partial x}+H\frac{\partial u}{\partial x}=0;\frac{\partial u}{\partial t}+u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+g\frac{\partial H}{\partial x}=0;$$

В матричной форме записи эти уравнения будут иметь вид:

$$\frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial t}+A\cdot \frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial x}=0;\overrightarrow{\varphi }={(h,u)}^T;A=\left(\begin{array}{cc}u& H\\ g& u\end{array}\right)(1.20)$$

Собственные числа матрицы A:

$$\begin{array}{l}\Vert A-\lambda E\Vert =\Vert \begin{array}{cc}u-\lambda & H\\ g& u-\lambda \end{array}\Vert ={(u-\lambda )}^2-gH=0;\Rightarrow \\ \Rightarrow {\lambda }_1=u+\sqrt{gH;}{\lambda }_2=u-\sqrt{gH;}\end{array}$$

являются действительными числами - система уравнений мелкой воды гиперболична.

Вывод матричной формы представления для уравнений Эйлера требует большего объема алгебраических выкладок.

В качестве вектора $\overrightarrow{\varphi }$ обычно используют набор переменных $(\rho ,u,P)$. Первое уравнение (закон сохранения массы) системы (1.17) представляется в виде:

$$\frac{\partial \rho }{\partial t}+u\frac{\partial \rho }{\partial x}+\rho \frac{\partial u}{\partial x}=0(1.21)$$

Второе уравнение системы (1.17) с учетом первого записывается как:

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\cdot \frac{\partial P}{\partial x}=0(1.22)$$

Третье уравнение преобразуется в несколько этапов. На первом этапе, с учетом уравнения сохранения массы, получаем:

$$\frac{\partial E}{\partial t}+u\frac{\partial E}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\cdot \frac{\partial Pu}{\partial x}=0(1.23)$$

Далее, учитывая, (1.22) и то, что $E=0.5\cdot u^2+e$. u² + eприходим к уравнению баланса удельной внутренней энергии:

$$\frac{\partial e}{\partial t}+u\frac{\partial e}{\partial x}+\frac{P}{\rho }\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=0(1.24)$$

Для получения эволюционного равнения на давление используется уравнение состояния $P=P(\rho ,e)$:

$$\frac{\partial P}{\partial t}=\frac{\partial P}{\partial \rho }\cdot \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial P}{\partial e}\cdot \frac{\partial e}{\partial t}(1.25)$$

Подставляя в правую часть этой формулы производные по времени из (1.21) и (1.24), приходим к цепочке преобразований:

$$\begin{array}{l}\frac{\partial P}{\partial t}=-\frac{\partial P}{\partial \rho }\cdot (u\frac{\partial \rho }{\partial x}+\rho \frac{\partial u}{\partial x})-\frac{\partial P}{\partial e}\cdot (u\frac{\partial e}{\partial x}+\frac{P}{\rho }\cdot \frac{\partial u}{\partial x})=\\ =-u(\frac{\partial P}{\partial \rho }\cdot \frac{\partial \rho }{\partial x}+\frac{\partial P}{\partial e}\cdot \frac{\partial e}{\partial x})-\rho (\frac{\partial P}{\partial \rho }+\frac{\partial P}{\partial e}\cdot \frac{P}{{\rho }^2})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=\\ =-u\frac{\partial P}{\partial x}-\rho c^2\frac{\partial u}{\partial x};\end{array}$$

где $c=\sqrt{(\frac{\partial P}{\partial \rho }+\frac{\partial P}{\partial e}\cdot \frac{P}{{\rho }^2})}$ - скорость звука

«Простая форма» уравнений газовой динамики принимает окончательный вид:

$$\begin{array}{l}\frac{\partial \rho }{\partial t}+u\frac{\partial \rho }{\partial x}+\rho \frac{\partial u}{\partial x}=0;\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{\rho }\cdot \frac{\partial P}{\partial x}=0;\\ \frac{\partial P}{\partial t}+u\frac{\partial P}{\partial x}+\rho c^2\frac{\partial u}{\partial x}=0;\end{array}$$

или, в матричной форме записи:

$$\frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial t}+A\cdot \frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial x}=0;\overrightarrow{\varphi }={(\rho ,u,P)}^T;A=\left(\begin{array}{ccc}u& \rho & 0\\ 0& u& {\rho }^{-1}\\ 0& \rho c^2& u\end{array}\right)$$

Найдем собственные числа матрицы A

$$\begin{array}{l}\Vert A-\lambda E\Vert =\Vert \begin{array}{ccc}u-\lambda & \rho & 0\\ 0& u-\lambda & {\rho }^{-1}\\ 0& \rho c^2& u-\lambda \end{array}\Vert =(u-\lambda )\cdot [{(u-\lambda )}^2-c^2]=0;\Rightarrow \\ \Rightarrow {\lambda }_{1,2}=u\pm c,{\lambda }_3=u;\end{array}$$

Таким образом, все собственные числа действительны и система уравнений Эйлера является гиперболической.

← Назад Далее →