← Назад Далее →

1.5. Характеристическая форма гиперболических законов сохранения

Системы уравнений в частных производных гиперболического типа сводятся к квазилинейным системам уравнений переноса.

Действительно, пусть ${\overrightarrow{l}}_i$, соответствующий собственному числу ${\lambda }_i$. Тогда

$${\overrightarrow{l}}_i^T\cdot A={\lambda }_i\cdot {\overrightarrow{l}}_i^T.$$

Умножая (1.19) на вектор ${\overrightarrow{l}}_i^T$, получаем:

$$({\overrightarrow{l}}_i^T\cdot \frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial t})+{\lambda }_i\cdot ({\overrightarrow{l}}_i^T\cdot \frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial x})=0;i=1,...,m(1.26)$$

То же самое можно записать как:

$${\overrightarrow{l}}_i^T\cdot (\frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial t}+{\lambda }_i\cdot \frac{\partial \overrightarrow{\varphi }}{\partial x})=0;i=1,...,m(1.27)$$

Уравнения (1.26), (1.27) называются характеристической формойпредставления гиперболических уравнений.

Характеристическая форма уравнений мелкой воды (1.16) будет иметь вид:

$$\begin{array}{l}(\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{g}{\sqrt{gH}}\cdot \frac{\partial H}{\partial t})+(u+\sqrt{gH})\cdot (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{g}{\sqrt{gH}}\cdot \frac{\partial H}{\partial x})=0;\\ (\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{g}{\sqrt{gH}}\cdot \frac{\partial H}{\partial t})+(u-\sqrt{gH})\cdot (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{g}{\sqrt{gH}}\cdot \frac{\partial H}{\partial x})=0;\end{array}(1.28)$$

Ее можно заметно упростить, если ввести в рассмотрение новые переменные, называемые инвариантами Римана

$$R=u+2\sqrt{gH};Q=u-2\sqrt{gH};$$

В инвариантах Римана связь уравнений (1.28) с уравнением переноса становится еще более очевидной:

$$\begin{array}{l}\frac{\partial R}{\partial t}+{\lambda }_1\cdot \frac{\partial R}{\partial x}=0;\frac{\partial Q}{\partial t}+{\lambda }_2\cdot \frac{\partial Q}{\partial x}=0;\\ {\lambda }_1=0.25\cdot (3R+Q);{\lambda }_2=0.25\cdot (R+3Q)\end{array}(1.29)$$

Характеристическую форму уравнений Эйлера можно записать как:

$$\begin{array}{l}(\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{\rho c}\cdot \frac{\partial P}{\partial t})+(u+c)\cdot (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{\rho c}\cdot \frac{\partial P}{\partial x})=0;\\ (\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{1}{\rho c}\cdot \frac{\partial P}{\partial t})+(u-c)\cdot (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{1}{\rho c}\cdot \frac{\partial P}{\partial x})=0;\\ (\frac{\partial P}{\partial t}-c^2\cdot \frac{\partial \rho }{\partial t})+u\cdot (\frac{\partial P}{\partial x}-c^2\cdot \frac{\partial \rho }{\partial x})=0;\end{array}(1.30)$$

Дальнейшее упрощение этой системы может быть проведено только для политропных процессов с уравнением состояния $P=A\cdot {\rho }^{\gamma },A=const>0$. В этом случае скорость звука $c=\sqrt{A{\gamma \rho }^{\gamma -1}}$, третье уравнение системы (1.30) удовлетворяется тождественно, а первые два сводятся к уравнениям переноса комплексов переменных R и Q, которые также называют инвариантами Римана:

$$\begin{array}{l}\frac{\partial R}{\partial t}+{\lambda }_1\cdot \frac{\partial R}{\partial x}=0;\frac{\partial Q}{\partial t}+{\lambda }_2\cdot \frac{\partial Q}{\partial x}=0;\\ R=u+\ln P^{1/\phantom{1\gamma }\gamma };Q=u-\ln P^{1/\phantom{1\gamma }\gamma };\end{array}(1.31)$$

где

$$\begin{array}{l}{\lambda }_1=0.5(R+Q)+\sqrt{\gamma }{A}^{\frac{1}{2\gamma }}\exp \left[0.25(\gamma -1)(R-Q)\right]\\ {\lambda }_2=0.5(R+Q)-\sqrt{\gamma }{A}^{\frac{1}{2\gamma }}\exp \left[0.25(\gamma -1)(R-Q)\right]\end{array}(1.32)$$

Систему уравнений (1.30) иногда записывают в виде:

$$\begin{array}{l}(\frac{\partial u}{\partial t}+{\lambda }_1\frac{\partial u}{\partial x})+\frac{1}{\rho c}\cdot (\frac{\partial P}{\partial t}+{\lambda }_1\frac{\partial P}{\partial x})=0;{\lambda }_1=u+c;\\ (\frac{\partial u}{\partial t}+{\lambda }_2\frac{\partial u}{\partial x})-\frac{1}{\rho c}\cdot (\frac{\partial P}{\partial t}+{\lambda }_2\frac{\partial P}{\partial x})=0;{\lambda }_2=u-c;\\ (\frac{\partial P}{\partial t}+{\lambda }_3\frac{\partial P}{\partial x})-c^2\cdot (\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\lambda }_3\cdot \frac{\partial \rho }{\partial x})=0;{\lambda }_3=u;\end{array}(1.33)$$

удобном для построения численных алгоритмов, основанных на методе характеристик.

← Назад Далее →