← Назад Далее →

1.5. Характеристическая форма гиперболических законов сохранения

Системы уравнений в частных производных гиперболического типа сводятся к квазилинейным системам уравнений переноса.

Действительно, пусть \(\vec{l}_{i}\), соответствующий собственному числу \({\rm\lambda }_{i}\). Тогда

$$\vec{l}_{i}^{T} \cdot A={\rm\lambda }_{i} \cdot \vec{l}_{i}^{T}.$$

Умножая (1.19) на вектор \(\vec{l}_{i}^{T}\), получаем:

$$\left(\vec{l}_{i}^{T} \cdot \frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial t} \right)+{\rm\lambda }_{i} \cdot \left(\vec{l}_{i}^{T} \cdot \frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial x} \right)=0;\quad i=1,...,m (1.26)$$

То же самое можно записать как:

$$\vec{l}_{i}^{T} \cdot \left(\frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial t} +{\rm\lambda }_{i} \cdot \frac{\partial \vec{{\rm\phi }}}{\partial x} \right)=0;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; }i=1,...,m (1.27)$$

Уравнения (1.26), (1.27) называются характеристической формойпредставления гиперболических уравнений.

Характеристическая форма уравнений мелкой воды (1.16) будет иметь вид:

$$\begin{array}{l} {\left(\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{g}{\sqrt{gH} } \cdot \frac{\partial H}{\partial t} \right)+\left(u+\sqrt{gH} \right)\cdot \left(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{g}{\sqrt{gH} } \cdot \frac{\partial H}{\partial x} \right)=0;} \\{\left(\frac{\partial u}{\partial t} -\frac{g}{\sqrt{gH} } \cdot \frac{\partial H}{\partial t} \right)+\left(u-\sqrt{gH} \right)\cdot \left(\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{g}{\sqrt{gH} } \cdot \frac{\partial H}{\partial x} \right)=0;} \end{array} (1.28)$$

Ее можно заметно упростить, если ввести в рассмотрение новые переменные, называемые инвариантами Римана

$$R=u+2\sqrt{gH} ;{\rm\; \; \; \; }Q=u-2\sqrt{gH} ;$$

В инвариантах Римана связь уравнений (1.28) с уравнением переноса становится еще более очевидной:

$$\begin{array}{l} {\frac{\partial R}{\partial t} +{\rm\lambda }_{1} \cdot \frac{\partial R}{\partial x} =0;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\frac{\partial Q}{\partial t} +{\rm\lambda }_{2} \cdot \frac{\partial Q}{\partial x} =0;} \\{{\rm\lambda }_{1} =0.25\cdot \left(3R+Q\right);{\rm\; \; \; \; \; \; \lambda }_{2} =0.25\cdot \left(R+3Q\right)} \end{array} (1.29)$$

Характеристическую форму уравнений Эйлера можно записать как:

$$\begin{array}{l} {\left(\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{1}{{\rm\rho }c} \cdot \frac{\partial P}{\partial t} \right)+\left(u+c\right)\cdot \left(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{1}{{\rm\rho }c} \cdot \frac{\partial P}{\partial x} \right)=0;} \\{\left(\frac{\partial u}{\partial t} -\frac{1}{{\rm\rho }c} \cdot \frac{\partial P}{\partial t} \right)+\left(u-c\right)\cdot \left(\frac{\partial u}{\partial x} -\frac{1}{{\rm\rho }c} \cdot \frac{\partial P}{\partial x} \right)=0;} \\{\left(\frac{\partial P}{\partial t} -c^{2} \cdot \frac{\partial {\rm\rho }}{\partial t} \right)+u\cdot \left(\frac{\partial P}{\partial x} -c^{2} \cdot \frac{\partial {\rm\rho }}{\partial x} \right)=0;} \end{array} (1.30)$$

Дальнейшее упрощение этой системы может быть проведено только для политропных процессов с уравнением состояния \(P=A\cdot {\rm\rho }^{{\rm\gamma }} ,{\rm\; \; }A=const>0\). В этом случае скорость звука \(c=\sqrt{A{\rm\gamma \rho }^{{\rm\gamma }-1} }\), третье уравнение системы (1.30) удовлетворяется тождественно, а первые два сводятся к уравнениям переноса комплексов переменных R и Q, которые также называют инвариантами Римана:

$$\begin{array}{l} {\frac{\partial R}{\partial t} +{\rm\lambda }_{1} \cdot \frac{\partial R}{\partial x} =0;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\frac{\partial Q}{\partial t} +{\rm\lambda }_{2} \cdot \frac{\partial Q}{\partial x} =0;} \\{R=u+\ln P^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 {\rm\gamma }}} \right.} {\rm\gamma }} } ;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }Q=u-\ln P^{{1\mathord{\left/ {\vphantom {1 {\rm\gamma }}} \right.} {\rm\gamma }} } ;} \end{array} (1.31)$$

где

$$\begin{array}{l} {{\rm\lambda }_{1} =0.5\left(R+Q\right)+\sqrt{{\rm\gamma }} A^{\frac{1}{2\gamma } } \exp \left[0.25\left({\rm\gamma }-1\right)\left(R-Q\right)\right]} \\{{\rm\lambda }_{2} =0.5\left(R+Q\right)-\sqrt{{\rm\gamma }} A^{\frac{1}{2\gamma } } \exp \left[0.25\left({\rm\gamma }-1\right)\left(R-Q\right)\right]} \end{array} (1.32)$$

Систему уравнений (1.30) иногда записывают в виде:

$$\begin{array}{l} {\left(\frac{\partial u}{\partial t} +{\rm\lambda }_{1} \frac{\partial u}{\partial x} \right)+\frac{1}{{\rm\rho }c} \cdot \left(\frac{\partial P}{\partial t} +{\rm\lambda }_{1} \frac{\partial P}{\partial x} \right)=0;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \lambda }_{1} =u+c;} \\{\left(\frac{\partial u}{\partial t} +{\rm\lambda }_{2} \frac{\partial u}{\partial x} \right)-\frac{1}{{\rm\rho }c} \cdot \left(\frac{\partial P}{\partial t} +{\rm\lambda }_{2} \frac{\partial P}{\partial x} \right)=0;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \lambda }_{2} =u-c;} \\{\left(\frac{\partial P}{\partial t} +{\rm\lambda }_{3} \frac{\partial P}{\partial x} \right)-c^{2} \cdot \left(\frac{\partial {\rm\rho }}{\partial t} +{\rm\lambda }_{3} \cdot \frac{\partial {\rm\rho }}{\partial x} \right)=0;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \lambda }_{3} =u;} \end{array} (1.33)$$

удобном для построения численных алгоритмов, основанных на методе характеристик.

← Назад Далее →