Лаборатория Индустриальной Математики - 3.4. Характеристические многочлены

3.4. Характеристические многочлены

Алгоритм построения характеристического многочлена заключается в следующем. Выберем некоторый узел сетки с индексами $(j, n)$ (здесь для индекса по пространству использована переменная $j$ , а не i, как раньше, чтобы избежать путаницы с мнимой единицей $i$ ). Каждое значение сеточной функции, входящее в разностную схему, следует заменить на решение в виде гармоники:

u_{j + k}^{n + m} \to A \cdot q^{m} e^{- i k ω} .

Полученное выражение, после упрощения, следует трактовать как полином относительно $q$ . Данный алгоритм реализуется следующим кодом:

BuildPoly[sh_] :=Module[{p},
p=sh /. u[ii_, nn_] ->Exp[(i - ii)Iw]*q^(nn - n + 1);	( подстановка гармоники )
If[Coefficient[p, q, 0] == 0, p = p/q];	( убираем тривиальное решение )
Return @Numerator@Together @ p;	( избавляемся от знаменателя )
];

Для рассматриваемых схем характеристические полиномы будут либо линейными (для двуслойных по времени схем), либо квадратичными (для трехслойных схем). Корень линейных полиномов $b \cdot x + c = 0$ с комплексными коэффициентами также является комплексным:

q = - \frac{c}{b} . (3.15)

Квадратичные полиномы имеют два корня. Представив полином в виде

a \cdot q^{2} + b \cdot q + c = 0,

где $a, b, c$ - некоторые комплексные выражения, решение квадратичного уравнения можно записать в стандартном виде

q_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (3.16)

← Назад Далее →