← Назад Далее →

1.3. Законы сохранения и дивергентная форма уравнений

Дивергентная формулировка (1.13) задачи (1.10) описывает закон сохранения величины $\varphi (x,t)$. Если проинтегрировать уравнение (1.13) по произвольному отрезку $[x_1^{\ast },x_2^{\ast }]\in [x_1^{},x_2^{}]$, получим:

$$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{x_1^{\ast }}^{x_2^{\ast }}\varphi \cdot dx=-[{F\left(\varphi \right)|}_{x_2^{\ast }}-{F\left(\varphi \right)|}_{x_1^{\ast }}];(1.14)$$

Левая часть этого равенства представляет изменение интеграла от искомой функции по отрезку $[x_1^{\ast },x_2^{\ast }]$ во времени, правая часть - разность потоков на его границах. Если потоки на границах равны нулю, то полный интеграл по отрезку сохраняет свое значение. По этой причине дивергентную форму дифференциальных уравнений иногда называют «консервативной»формой уравнений.

Все физические процессы, происходящие в макромире, подчиняются четырем фундаментальным законам сохранения: закону сохранения массы, закону сохранения импульса, закону сохранения момента импульса и закону сохранения полной энергии. Применительно к одномерным нестационарным задачам механики сплошных сред актуальны только три из них - в одномерном случае выполняется либо закон сохранения импульса, либо закон сохранения момента импульса. Именно эти законы и составляют основу дифференциальных уравнений, наиболее востребованных при решении прикладных задач.

В общем виде эти уравнения можно записать как:

$$\frac{\partial {\varphi }_i}{\partial t}+\frac{\partial F_i\left(\overrightarrow{\varphi }\right)}{\partial x}=0(1.15)$$

где $\overrightarrow{\varphi }={({\varphi }_1,{\varphi }_2,...,{\varphi }_m)}^T$ - набор сохраняющихся (консервативных) величин, $F_i\left(\overrightarrow{\varphi }\right)$ - потоки этих величин. Это т.н. консервативнаяформа записи этих уравнений. Так уравнения «мелкой воды» будут иметь вид:

$$\begin{array}{l}\frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial F_H}{\partial x}=0;\frac{\partial Hu}{\partial t}+\frac{\partial F_{Hu}}{\partial x}=0;\\ F_H=Hu;F_{Hu}=H{u}^2+\frac{g}{2}{H}^2;\end{array}(1.16)$$

где $H=H(x,t)$ - высота свободной границы жидкости над ровным дном, $u=u(x,t)$ - скорость жидкости, $g$- ускорение свободного падения.

Первое из этих уравнений представляет собой закон сохранения массы, второе - закон сохранения импульса. Закон сохранения полной механической энергии $E_m=0.5(u^2+g{H}^2)$можно получить как дифференциальное следствие из этих законов.

Уравнения газовой динамики (уравнения Эйлера) представляют собой законы сохранения массы, импульса и полной энергии:

$$\begin{array}{l}\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial F_{\rho }}{\partial x}=0;\frac{\partial \rho u}{\partial t}+\frac{\partial F_{\rho u}}{\partial x}=0;\frac{\partial \rho E}{\partial t}+\frac{\partial F_{\rho E}}{\partial x}=0;\\ F_{\rho }=\rho u;F_{\rho u}=\rho u^2+P;F_{\rho E}=\rho Eu+Pu;\\ E=0.5\cdot u^2+e;P=P(\rho ,e)\end{array}(1.17)$$

Здесь $\rho$ - полная удельная энергия, $e$- удельная внутренняя энергии.

В случае нескольких пространственных изменений консервативная форма записи уравнений механики сплошных сред будет иметь вид:

$$\frac{\partial {\varphi }_i}{\partial t}+\frac{\partial F_{i,j}\left(\overrightarrow{\varphi }\right)}{\partial x_j}=0;j=1,2,3(1.18)$$

В частности, в таком виде можно представить уравнения Навье - Стокса, уравнения динамической теории упругости, уравнения линейной и нелинейной акустики и оптики, уравнения Максвелла и многие другие.

← Назад Далее →