← Назад Далее →

1.2. Простейшие обобщения

Однородное уравнение переноса (1.1) не представляет большого интереса с точки зрения приложений, поскольку его решение устроено слишком просто. Добавление в правую часть этого уравнения источника $Q(x,t)$, не зависящего от решения, оставляет уравнение линейным и существенно расширяет возможный круг его практического применения.

Неоднородное линейное уравнение

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+c\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}=Q(x,t),(1.8)$$

описанным ранее способом сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

$$\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\cdot \frac{\partial \varphi (s,\alpha )}{\partial s}=Q(x,t);x=x(s,\alpha );t=t(x,\alpha );(1.9)$$

где $s$ - параметр, определяющий точку на характеристике; вводится как длина характеристики от точки пересечения ее с границей области на входном участке до требуемой точки, $\alpha$- идентификационный параметр характеристики в их однопараметрическом семействе.

Другое, важное обобщение уравнения (1.1), связано с введением в это уравнение нелинейности - зависимости скорости переноса от искомого решения:

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+c\left(\varphi \right)\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}=0;(1.10)$$

В простейшем случае, когда $c\left(\varphi \right)=\varphi$, это уравнение называется уравнением Хопфа и обычно записывается в виде:

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+u\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}=0;(1.11)$$

Отличительной особенностью уравнения Хопфа является возможность возникновения в его решении т.н. «градиентной катастрофы». Поскольку угол наклона характеристик в нелинейном случае зависит от начальных условий, то даже при гладких начальных условиях характеристики могут пересекаться. Это приводит к потере однозначности решения. Например, если начальный профиль функции $\varphi (x,0)$ представляет собой «колокол» над нулевым фоном, то этот профиль будет двигаться вправо так, что передний фронт будет становиться более крутым, а задний - более пологим. При приближении к точке потери однозначности модуль градиента (тангенс угла наклона) решения устремляется к бесконечности, что и порождает градиентную катастрофу.

В месте пересечения характеристик возникает сильный разрыв, в окрестности которого дифференциальное уравнение (1.11) перестает быть корректным. Для описания решений с разрывами дифференциальное уравнение (1.11) преобразуют в интегральное уравнение, не содержащее производных. Для этого его приводят к т.н. «дивергентной форме»

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\frac{\partial F\left(\varphi \right)}{\partial x}=0;F\left(\varphi \right)=\frac{1}{2}\cdot {\varphi }^2$$

и интегрируют по произвольной подобласти $G_{\ast }\in G$.

$${\iint }_{G_{\ast }}[\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\cdot \frac{\partial F\left(\varphi \right)}{\partial x}]dxdt={\oint }_{\partial G_{\ast }}\{\varphi dx-F\left(\varphi \right)dt\}=0;(1.12)$$

Разрывная, вообще говоря, функция $u(x,t)$, удовлетворяющая интегральному уравнению (1.12) для всех подобластей $G\ast$ области $G$ называется обобщенным решением дифференциального уравнения (1.11).

Более общее уравнение (1.10) также сводится к дивергентному представлению

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+\frac{\partial F\left(\varphi \right)}{\partial x}=0;F\left(\varphi \right)=\int c\left(\varphi \right)d\varphi ;(1.13)$$

позволяющему перейти к интегральной формулировке задачи, определяющей обобщенное решение уравнения (1.10) в классе разрывных функций. Величины $F\left(\varphi \right)$ называются потоками.

← Назад Далее →