← Назад Далее →

2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Проблемы, возникающие при численном решении простейшего уравнения в частных производных (1.1), являются типичными для всего множества законов сохранения гиперболического типа.

Основная идея всех численных методов решения дифференциальных уравнений заключается в замене дифференциальных задач системами алгебраических уравнений большой размерности. Главным при этом является вопрос о сходимости решения алгебраической задачи к решению исходной дифференциальной задачи.

Численные методы интегрирования уравнений в частных производных часто делят на два больших класса: это спектральные методы и сеточные методы. Здесь мы будем рассматривать только сеточные методы.

Рассмотрим основные вопросы, возникающие при численном решении уравнений гиперболического типа на примере начально-краевой задачи для простейшего уравнения переноса:

В сеточных методах область решения дифференциальной задачи покрывается т.н. расчетной сеткой. В области $G:(x,t)\in [0,L]\times [0,T]$, представляющей собой прямоугольник, рассмотрим равномерную сетку $\varpi$ с узлами, пронумерованными целыми индексами $(i,n),i=1,...,N,n=1,...,M$, и координатами $x_i=(i-1)h,h=L/\phantom{L(N-1);}(N-1);$$t_n=(n-1)\tau ,\tau =T/\phantom{T(M-1).}(M-1).$

Искомое решение $u(x,t)$ представим в виде дискретного набора значений $u_i^n=u(x_i,t_n)$ в узлах расчетной сетки. Задача ставится следующим образом: пусть заданы значения сеточной функции $u$на начальном (первом) слое по времени и левой границе области:

Необходимо найти значения функции в последующие моменты времени $\tau$, $2\tau$,... во всех узлах $(i=2,...,N)$сетки.

Построение дискретных аналогов дифференциальной задачи (2.1) можно осуществить различными способами. Остановимся на трех наиболее распространенных в учебной литературе способах: методе конечных разностей, методе неопределенных коэффициентов и методе обратной характеристики.

← Назад Далее →