← Назад Далее →

1.1. Простейшее уравнение в частных производных

На множестве дифференцируемых функций $C^1$, определенных на пространственно-временной плоскости $(x,t)$, простейшее линейное уравнение в частных производных можно записать как:

$$\frac{\partial \varphi }{\partial t}+c\cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}=0;\varphi (x,t)\in C^1(1.1)$$

где $c=const$ - произвольное действительное число $c\in R$. Действительно, простейшее уравнение должно содержать частные производные по обеим переменным, иначе оно будет обыкновенным дифференциальным уравнением. Требование линейности приводит к тому, что частные производные должны объединяться в уравнении посредством операций сложения или вычитания. Введение действительного числа $c=const$, которое может принимать как положительные, так и отрицательные значения, объединяет обе эти операции.

Общее решение уравнения (1.1) имеет вид:

$$\varphi (x,t)=f(x-ct);f\in C^1,(1.2)$$

что легко проверить непосредственной подстановкой. Конкретный вид функции $f$определяется начальными и граничными условиями.

Частный случай общего решения, когда

$$f(x-ct)=\exp \left[i(\omega t-kx)\right](1.3)$$

называется бегущей волной. Величины $\omega$ и $k$ называются круговой частой и волновым числом соответственно. Величину $\omega /\phantom{\omega k}k$ называют фазовой скоростью бегущей волны. Подстановка (1.3) в (1.1) приводит к дисперсионному соотношению $\omega /\phantom{\omega k}k=c$, означающему, что все бегущие волны, удовлетворяющие уравнению переноса (1.1), имеют одинаковую фазовую скорость. Величину c называют скоростью переноса.

Уравнение (1.1) можно представить также в другом виде:

$$grad\varphi \cdot \overrightarrow{l}=\frac{\partial \varphi }{\partial \overrightarrow{l}}=0;(1.4)$$

где

$$grad\varphi ={(\frac{\partial \varphi }{\partial x},\frac{\partial \varphi }{\partial t})}^T;\overrightarrow{l}={(c,1)}^T(1.5)$$

Из представления (1.4) следует, что $\varphi =const$ вдоль каждой прямой на плоскости $(x,t)$, определяемой уравнением:

$$t=\alpha \cdot (x-x_0);\alpha =1/\phantom{1c}c(1.6)$$

Прямые (1.6) называются характеристиками уравнения (1.1), а само уравнение (1.1) называют уравнением переноса.

Следует отметить, что представление уравнения переноса в виде обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик (1.4) дает возможность отказаться от требования дифференцируемости решения по переменным $x$ и $t$.

Постановка задач на основе уравнения переноса (1.1) включает в себя задание области $G$, в которой ищется решение, и начальных и граничных условий.

Пусть область $G$ представляет собой прямоугольник $G:[x_1,x_2]\times [t_1,t_2]$. Обозначим $S_L,S_R,S_T,S_B$ левую, правую, верхнюю и нижнюю границы этого прямоугольника соответственно (рис.1). В этом случае характеристики, пересекающие нижнюю границу прямоугольника $G$, сплошь покроют подобласть $G_1$ (рис. 1). Вдоль каждой из этих характеристик функция $\varphi$ будет постоянной и равной значению $\varphi (x,t_1)$ в точке ее пересечения с отрезком $x\in [x_1,x_2]$. Подобласть $G_2$ покроют характеристики, пересекающие левую границу области $G$. Функция $\varphi$ вдоль этих характеристик также будет постоянной, равной ее значениям в точках пересечения с границей $S_L$. Таким образом, для однозначного определения решения уравнения переноса в области $G$, необходимо задать значения функции $\varphi$ на нижней и левой границах $S_B$ и $S_L$:

$$\begin{array}{l}\varphi (x,t_1)=\theta \left(x\right);x\in [x_2,x_1];\\ \varphi (x_1,t)=\psi \left(t\right);t\in [t_2,t_1];\end{array}(1.7)$$

а)	б)
Рис. 1

Первое из этих условий можно считать начальным, второе - граничным. Возможность представления уравнения (1.1) в виде (1.4) позволяет не вводить ограничений на гладкость начальных и граничных условий - функции $\theta \left(x\right)$ и $\psi \left(t\right)$могут не иметь производных ни в одной точке их определения.

Значения решения на границах $S_R$ и $S_T$ однозначно определяются по начальным и граничным условиям (1.7).

← Назад Далее →