← Назад Далее →

2.3. Метод неопределенных коэффициентов

Множество разностных схем, аппроксимирующих уравнение (2.1), не исчерпывается приведенными в (2.3). Если отвлечься от «конечных разностей», то все схемы, рассмотренные выше, можно представить в виде:

$$\sum _{m\in stensil}{\rm\alpha }_{m} \cdot u{}_{m} =0 (2.19)$$

где суммирование проводится по заданному вычислительному шаблону (см. примеры рис. 2). Так для разностной схемы A («уголок»)

$${\rm\alpha }_{i}^{n+1} =\frac{1}{{\rm\tau }} ,{\rm\; \; \; \; \alpha }_{i}^{n} =\frac{c}{h} -\frac{1}{{\rm\tau }} ,{\rm\; \; \; \; \alpha }_{i-1}^{n} =-\frac{c}{h} , (2.20)$$

для схемы G («крест»)

$${\rm\alpha }_{i}^{n+1} =\frac{1}{2{\rm\tau }} ,{\rm\; \; \; \; \alpha }_{i+1}^{n} =\frac{c}{2h} ,{\rm\; \; \; \; \alpha }_{i-1}^{n} =-\frac{c}{2h} ,{\rm\; \; \; \; \; \; \alpha }_{i}^{n-1} =-\frac{1}{2{\rm\tau }} (2.21)$$

Для нахождения коэффициентов \({\rm\alpha }_{m}\) по заданному шаблону можно использовать т.н. «метод неопределенных коэффициентов», суть которого заключается в том, что дифференциальный и разностный (дискретный) операторы должны одинаковым образом действовать на некоторое множество полиномов от переменных \(x, t\):

где \({\rm\eta }_{j} ,j=1,2,...,n\)произвольные константы. Максимальный порядок полинома, на который дискретный и дифференциальный операторы действуют одинаковым образом, будем называть порядком аппроксимации дискретного оператора.

Из этого определения следует, что для того, чтобы дискретный оператор обладал первым порядком аппроксимации, его коэффициенты должны удовлетворять условиям:

$$\sum _{m\in stensil}{\rm\alpha }_{m} =0;{\rm\; \; \; }\sum _{m\in stensil}x_{m} \cdot {\rm\alpha }_{m} =c;{\rm\; \; \; }\sum _{m\in stensil}t_{m} \cdot {\rm\alpha }_{m} =1; (2.23)$$

Если вычислительный шаблон оператора состоит из трех узлов, то условия (2.23) позволяют однозначно определить неизвестные коэффициенты \({\rm\alpha }_{m}\).

Так для шаблона А (рис. 1) получаем:

$$\begin{array}{l} {{\rm\; \alpha }_{i-1}^{n} +{\rm\alpha }_{i}^{n} +{\rm\alpha }_{i}^{n+1} =0;} \\{\left(x_{i} -h\right){\rm\alpha }_{i-1}^{n} +\left({\rm\alpha }_{i}^{n} +{\rm\alpha }_{i}^{n+1} \right)x_{i} =c;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\Rightarrow {\rm\alpha }_{i-1}^{n} =-{c\mathord{\left/ {\vphantom {c h}} \right. } h} ;} \\{t_{n} \left({\rm\alpha }_{i-1}^{n} +{\rm\alpha }_{i}^{n} \right)+{\rm\alpha }_{i}^{n+1} \left(t_{n} +{\rm\tau }\right)=1;{\rm\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }\Rightarrow {\rm\alpha }_{i}^{n+1} ={1\mathord{\left/ {\vphantom {1 {\rm\tau }}} \right. } {\rm\tau }} ;} \\{{\rm\; \; }} \end{array}$$

откуда следует (2.20). Аналогичным образом можно получить коэффициенты дискретных операторов и для шаблонов B, C, D.

При увеличении числа узлов в шаблоне на единицу можно получать дискретные операторы второго порядка аппроксимации. Для этого, наряду с (2.23), нужно выполнить условие:

$$\sum _{m\in stensil}\left(x-ct\right)_{m}^{2} \cdot {\rm\alpha }_{m} =0; (2.24)$$

Применим это правило к шаблону G схемы «крест». Система уравнений (2.23), (2.24) в этом случае примет вид:

$$\begin{array}{l} {{\rm\; \alpha }_{i-1}^{n} +{\rm\alpha }_{i+1}^{n} +{\rm\alpha }_{i}^{n+1} +{\rm\alpha }_{i}^{n-1} =0;} \\{\left(x_{i} -h\right){\rm\alpha }_{i-1}^{n} +\left({\rm\alpha }_{i}^{n+1} +{\rm\alpha }_{i}^{n-1} \right)x_{i} +\left(x_{i} +h\right){\rm\alpha }_{i+1}^{n} =c;\; \Rightarrow \quad {\rm\alpha }_{i+1}^{n} -{\rm\alpha }_{i-1}^{n} =-{c\mathord{\left/ {\vphantom {c h}} \right. } h} ;} \\{t_{n} \left({\rm\alpha }_{i-1}^{n} +{\rm\alpha }_{i+1}^{n} \right)+{\rm\alpha }_{i}^{n+1} \left(t_{n} +{\rm\tau }\right)+{\rm\alpha }_{i}^{n-1} \left(t_{n} -{\rm\tau }\right)=1;\quad \Rightarrow \quad {\rm\; \alpha }_{i}^{n+1} -{\rm\alpha }_{i}^{n-1} ={1\mathord{\left/ {\vphantom {1 {\rm\tau }}} \right. } {\rm\tau }} ;} \\{\left({\rm\alpha }_{i-1}^{n} +{\rm\alpha }_{i+1}^{n} \right)h^{2} +\left({\rm\alpha }_{i}^{n+1} +{\rm\alpha }_{i}^{n-1} \right)c^{2} {\rm\tau }^{2} =0;} \end{array}$$

Условие (2.24) здесь преобразовано с учетом трех предшествующих условий. Разрешая приведенную систему, получаем решение, совпадающее с (2.21). Аналогично могут быть вычислены коэффициенты для шаблона E (схема Карлсона). Однако, описанный метод, примененный к шаблону F, приводит к другой схеме, схеме Лакса - Вендроффа, обладающей вторым порядком аппроксимации как по времени, так и по пространству. Схема с «симметричной аппроксимацией конвективных потоков», имеющая порядок аппроксимации \(O\left({\rm\tau }+h^{2} \right)\), может быть получена, если вместо (2.24) потребовать выполнения условия \(\sum _{m\in stensil}x_{m}^{2} \cdot {\rm\alpha }_{m} =2cx_{i}^{n}\).

Следует отметить, что при построении методом неопределенных коэффициентов схем со вторым порядком аппроксимации и выше использовалось частное решение исходного дифференциального уравнения \(u=F\left(x-ct\right)\). По этой причине такие аппроксимации называются «аппроксимациями на решении». При построении схем первого порядка частное решение не используется.

Наряду с понятием аппроксимации на решении можно ввести понятие «строгой аппроксимации оператора», не опирающееся на его частные решения. Будем считать, что дискретный оператор строго аппроксимирует исходный дифференциальный оператор с порядком \(n\), если области их значений совпадают на полном множестве полиномов степени \(n\):

Множество полиномов (2.22) является в этом смысле не полным.

Схемы первого порядка всегда строго аппроксимируют исходные дифференциальные операторы. Для аппроксимации дифференциального оператора на решении с порядком \(n > 2\) достаточно \(n + 2\) узлов в вычислительном шаблоне, для строгой аппроксимации требуется \(\left(n+2\right)\left(n+1\right)/2$\)узлов.

При построении разностных схем можно ориентироваться не только на максимально возможный порядок аппроксимации. Так схемы типа (2.19) можно строить следующим образом: для данного числа точек на \(n\)-ом временном слое ищется схема, обладающая порядком аппроксимации на решении, на единицу меньшим максимально возможного. В результате получается система уравнений, число неизвестных в которой на единицу больше числа уравнений. Оставшимся свободным параметром можно распорядиться таким образом, чтобы улучшить дисперсионные и диссипативные свойства разностной схемы.

Метод неопределенных коэффициентов естественным образом обобщается на неравномерные расчетные сетки. При выборе вычислительного шаблона следует обращать внимание на его компактность и корректное отображение области зависимости решения (свойство «транспортивности» схемы, П. Роуч) - при \(c > 0\)решение уравнения переноса не должно зависеть от значений переменных, находящихся справа от точки, в которой ищется решение.

Построение дискретных операторов, аппроксимирующих дифференциальный оператор переноса с высоким порядком, методом неопределенных коэффициентов связано с большим объемом алгебраических выкладок и редко применяется на практике.

← Назад Далее →