← Назад Далее →

2.2. Некоторые свойства частных решений первых дифференциальных приближений

Разностный оператор приближает первое дифференциальное приближение с большей точностью, нежели исходное невозмущенное дифференциальное уравнение, поэтому можно ожидать, что решение разностного оператора будет наследовать свойства аналитического решения возмущенного дифференциального оператора. Дифференциальные приближения разностных операторов (2.3) имеют вид:

$$\frac{\partial u}{\partial t} +c\cdot \frac{\partial u}{\partial x} +{\rm\mu }\cdot \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2} } +{\rm\eta }\cdot \frac{\partial ^{3} u}{\partial x^{3} } =0;\quad {\rm\mu }=const_{1} ;\quad {\rm\eta }=const_{2} . (2.14)$$

Будем искать частное решение этого уравнения в виде бегущей волны:

$$u\left(x,t\right)=D\cdot \exp \left\{i\left({\rm\omega }t-kx\right)\right\} (2.15)$$

Подставляя (2.15) в (2.14), приходим к дисперсионному соотношению

$${\rm\omega }-ck-i\cdot {\rm\mu }\cdot k^{2} +{\rm\eta }k^{3} =0 (2.16)$$

связывающую круговую частоту \({\rm\omega }\). Таким образом, частное решение уравнения (2.14) имеет вид:

$$u\left(x,t\right)=D\cdot \exp \left({\rm\mu }\cdot k^{2} t\right)\cdot \exp \left\{-ik\left[x-\left(c-{\rm\eta }k^{2} \right)t\right]\right\} (2.17)$$

Если \({\rm\mu }<0\), то амплитуда бегущей волны будет экспоненциально затухать со временем, причем тем быстрее, чем больше квадрат волнового числа. Если \({\rm\mu }>0\), то будет наблюдаться экспоненциальный рост.

Величину

$${\rm\gamma }\left(k\right)=\frac{Re\left({\rm\omega }\right)}{ck} (2.18)$$

будем называть приведенной фазовой скоростью бегущей волны. Зависимость \({\rm\gamma }\) называют дисперсией. Если \({\rm\gamma }\left(k\right)<1\), то дисперсию называют нормальной, при \({\rm\gamma }\left(k\right)>1\) дисперсия является аномальной.

Проанализируем, каких свойств можно ожидать у решений рассмотренных ранее разностных схем, основываясь на их первых дифференциальных приближениях.

Схема \({\mu }\) \({\eta }\) Свойства решения
A \(0.5 c (c\tau-h)\) \(0\) Убывает при \(\tau < h / c\)
B \(-0.5 c h\) \(0\) Всегда убывает
C \(0.5 c (h + c\tau)\) \(0\) Всегда возрастает
D \(0.5 c (h-c\tau)\) \(0\) Убывает при \(\tau > h / c\)
E \(0\) \((c / 12) (h^2 -2c^2\tau^2-ch\tau)\) Диссипативные свойства не определены
F \((c^2 / 2) \tau\) \((c / 6)h^2\) Всегда возрастает
G \(0\) \((c / 6)(h^2-c^2\tau^2)\) Диссипативные свойства не определены

Схемы E и G не содержат в своем разложении вторых производных, поэтому для того, чтобы сделать вывод о том, будут амплитуды бегущих волн возрастать или затухать, необходимо привлекать более высокие члены разложения, содержащие четвертые производные. Легко видеть, что если P - форма дифференциального приближения содержит четные производные по пространству, то они оказывают влияние только на степень роста или затухания амплитуды бегущей волны. Действительно, из уравнения

$$\frac{\partial u}{\partial t} +c\cdot \frac{\partial u}{\partial x} +{\rm\mu }_{n} \cdot \frac{\partial ^{2n} u}{\partial x^{2n} } =0$$

следует, что \({\rm\omega }-ck-i\left(-i\right)^{2n} {\rm\mu }_{k} k^{2n} =0\)и решение имеет вид

$$u\left(x,t\right)=D\cdot \exp \left\{\left[\left(-i\right)^{2n} {\rm\mu }_{k} k^{2n} \right]t\right\}\cdot \exp \left[i\left({\rm\omega }t-kx\right)\right]$$

Члены разложения с нечетными производными

$$\frac{\partial u}{\partial t} +c\cdot \frac{\partial u}{\partial x} +{\rm\eta }_{n} \cdot \frac{\partial ^{2n+1} u}{\partial x^{2n+1} } =0$$

вносят вклад в дисперсию бегущих волн

$$u\left(x,t\right)=D\cdot \exp \left\{-ik\left[x-\left(c-\cdot {\rm\eta }\cdot k^{2n} \right)t\right]\right\}$$

Если в разложении схемы G («крест») учесть четвертые производные, то можно показать, что частное решение в виде бегущей волны не будет возрастать при условии \({\rm\tau }<{h\mathord{\left/ {\vphantom {h \left|c\right|}} \right. } \left|c\right|}\).

← Назад Далее →